题目内容
【题目】如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成角的正弦值为 .
(1)若F是线段CD的中点,证明:EF⊥面DBC;
(2)求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OD.
∵DB⊥平面ABC,DB面ABD,根据直线和平面垂直的判定定理得,面ABD⊥平面ABC.
取AB的中点O,连结OC,OD.
∵△ABC是等边三角形,∴OC⊥AB,
根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD,
∴OD是CD在平面ABDE上的射影,
∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角.
∴sin∠CDO= ,而OC= ,
∴CD=2 ,∴BD=2.
取ED的中点为M,以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OM为z轴建立如图空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0), ,
取BC的中点为G,则G( , ,0),则AG⊥面BCD,因为 ,
所以 ,所以EF⊥面DBC.
(2)解:由上面知:BF⊥面DEC,
又 ,
取平面DEC的一个法向量
设平面BCE的一个法向量 ,则
又 ,
所以 ,令x=1,则y= ,z=2 .
由此得平面BCE的一个法向量 .
则 ,所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为 .
【解析】1、根据题意作出辅助线:取AB的中点O,连结OC,OD.利用直线和平面垂直的判定定理得,面ABD⊥平面ABC,再由已知△ABC是等边三角形,可得OC⊥AB,利用线面垂直的性质定理可得OC⊥面ABD,∠CDO即是CD与平面ABDE所成角,进而求出CD=2 ,BD=2.建立如图空间直角坐标系,根据向量的线性运算可得证, E F ∥ A G 故EF⊥面DBC。
2、在建立如图空间直角坐标系内取平面DEC的一个法向量 ,设平面BCE的一个法向量 ,根据向量的垂直关系,令x=1,则y= ,z=2 ,由此得平面BCE的一个法向量 = ( 1 , , 2 ) ,利用数量积的运算公式求出c o s < , >的值。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题.