题目内容

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 $数学公式$ ，右顶点为D（2，0），设点 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c= $\text{[math]}$ ，则半短轴b=1，…（1分）
又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ．…（2分）
（Ⅱ）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），由 $\text{[math]}$ 得x₀=2x-1，且 $\text{[math]}$ ．…（4分）
由点P在椭圆上，得 $\text{[math]}$ ，
∴线段PA中点M的轨迹方程是 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（Ⅲ）当直线BC垂直于x轴时，线段BC的长为2，因此△ABC的面积S_△ABC=1满足l的条件．当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx（k∈R），代入 $\text{[math]}$ ，解得
B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），C（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ．…（8分）
又点A到直线BC的距离d= $\text{[math]}$ ，∴△ABC的面积S_△ABC= $\text{[math]}$ ．…（10分）
于是S_△ABC= $\text{[math]}$ =1，得 $\text{[math]}$ =0，所以k=0．
∴直线l存在，其方程为x=0和y=0．…（12分）
分析：（Ⅰ）由左焦点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（II）由于线段PA中点M随着P的变动而变动，故只需求出两动点之间的坐标关系，利用P再椭圆上即可求得线段PA中点M的轨迹方程
（Ⅲ）当直线BC垂直于x轴时，线段BC的长为2，因此△ABC的面积S_△ABC=1满足l的条件．当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx（k∈R），代入 $\text{[math]}$ ，求得B，C的坐标，从而求得BC长，利用点到直线的距离公司可求点A到直线BC的距离，从而可求△ABC的面积，进而可求k及直线l的方程．
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，同时考查了直线与椭圆的位置关系，代入法求轨迹方程解题的关键是寻找动点之间的坐标关系．