如图三棱柱ABC-A1B1C1中,每个侧面都是正方形,D为底边AB中点,E为侧棱CC1中点,AB1与A1B交于点O. (I)求证:CD//平面A1EB. (II)求证:平面AB1C⊥平面A1EB 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,每个侧面都是正方形,D为底边AB中点,E为侧棱CC₁中点,AB₁与A₁B交于点O。

（I）求证：CD//平面A₁EB。

（II）求证：平面AB₁C⊥平面A₁EB

证明：（I）∵ 棱柱的每个侧面为正方形

∴AA₁⊥AC

AA₁⊥AB

∴三棱柱为正三棱柱

连OD，∵D为AB中点，O为对面线AB₁，A₁B交点

∴OD//BB₁

又E为CC₁中点 ∴EC//BB₁

OD//EC

DCEO为平行四边形 CD//EO

CD平面A₁EB EO平面A₁EB ∴CD//平面A₁EB

（II）∵ AB=AC=CB

∴ CD⊥AB

又直棱柱侧面ABB₁A₁⊥底面ABC

∴CD⊥平面ABB₁A₁ CD⊥AB₁

由（I）CD//EO ∴EO⊥AB₁

又正方形中 A₁B⊥AB₁

EOA₁B=0， EO A₁B平面A₁EB

∴AB₁⊥平面A₁EB

AB₁平面AB₁C ∴平面A₁EB⊥平面AB₁C

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．

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