Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列是公比为2的等比数列．
（1）证明：数列{a_n}成等比数列的充要条件是a₁=3；
（2）设b_n=5ⁿ-（-1）ⁿa_n（n∈N^*）．若b_n＜b_n+1对n∈N^*恒成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为数列是公比为2的等比数列，
所以，
即S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．
因为所以
显然，当n≥2时，．
①充分性：当a₁=3时，，所以对n∈N^*，都有，即数列{a_n}是等比数列．
②必要性：因为{a_n}是等比数列，所以，即，解得a₁=3．
（2）当n=1时，b₁=5+a₁；当n≥2时，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．
①当n为偶数时，5ⁿ-3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹+3（a₁+1）×4^n-1恒成立．
即15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．
②当n为奇数时，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．
由b₁＜b₂知，5+a₁＜25-3（a₁+1），得．
由b_n＜b_n+1对n≥3的奇数恒成立，知5ⁿ+3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹-3（a₁+1）×4^n-1恒成立，
即15（a₁+1）×4^n-2＜4×5ⁿ恒成立，所以恒成立．
因为当对n≥3的奇数时，的最小值为，所以．
又因为，故．
综上所述，b_n＜b_n+1对n∈N^*恒成立时，．
分析：（1）由题设知S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．．先证明充分性：当a₁=3时，，所以对n∈N^*，都有，即数列{a_n}是等比数列．再证明必要性：因为{a_n}是等比数列，所以，即，解得a₁=3．
（2）当n=1时，b₁=5+a₁；当n≥2时，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．当n为偶数时，15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．当n为奇数时，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．5+a₁＜25-3（a₁+1），得．由此入手能够得到a₁的取值范围．
点评：本题考查等比数列的性质，解题时感受知识点的有效组合，注意积累解题方法．