Question

判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
（1）f（x）=x³+1；
（2）f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x³+1=0，解方程得x=-1，由此可得函数在给定区间上存在零点；
（2）方法一：令

1

x

-x=0解得x的值不在定义域内，故函数不存在零点；
    方法二：令y₁=

1

x

，y₂=x，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出当0＜x＜1时，两图象没有交点．
    故相应的函数没有零点．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+1=（x+1）（x²-x+1），
令f（x）=0，即（x+1）（x²-x+1）=0，∴x=-1，
∴f（x）=x³+1有零点-1．
（2）法一：令f（x）=0得

1

x

-x=0，

1-x2

x

=0，
∴x=±1，而±1∉（0，1），
∴f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）不存在零点．
法二：令y₁=

1

x

，y₂=x，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出当0＜x＜1时，两图象没有交点．
故f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）没有零点．

点评：本题考查函数的零点的性问题，借用了零点与方程根的关系转化为求方程的根，有根则函数有零点，方法二用作图法确定函数是否有零点．