Question

（2010•武昌区模拟）已知矩形ABCD中，AB=

2

，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上．
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）若E为线段BD的中点，求二面角B-AC-E的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明平面ABD⊥平面ABC，我们只需要证明在一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，即证DA⊥平面ABC，利用点A在平面BCD内的射影落在DC上，可证平面ADC⊥平面BCD，从而BC⊥平面ADC，故可得证；
（2）取AB中点F，连EF，过F作FG⊥AC，垂足为G，连接EG，则∠EGF是所求二面角的平面角，在Rt△EFG中，可求二面角B-AC-E的大小．

解答：证明：（1）∵点A在平面BCD内的射影落在DC上，
即平面ACD经过平面BCD的垂线，
∴平面ADC⊥平面BCD，
∵BC⊥CD，
∴BC⊥平面ADC，
∵DA?平面ADC，
∴BC⊥DA．
又DA⊥AB，AB∩BC=B
∴DA⊥平面ABC，
∴平面ABD⊥平面ABC…（4分）
（2）取AB中点F，连EF，
∵E为BD中点，
∴EF∥AD
∵DA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
过F作FG⊥AC，垂足为G，连接EG，则GF为EG在平面ABC的射影，
∴EG⊥AC
∴∠EGF是所求二面角的平面角…（6分）
在△ABC中，∵FG⊥AC，BC⊥AC，BC=1
∴FG∥BC，FG=

1

2

BC=

1

2

，
∵EF∥

1

2

AD，AD=1
∴EF=

1

2

∴在Rt△EFG中，∠EGF=45°
即二面角B-AC-E的大小是45°…（12分）

点评：本题以矩形为载体，考查平面图形的翻折，考查面面垂直的判断，考查面面角，解题的关键是正确运用面面垂直的判定定理，找出面面角．