Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

Answer 1

分析：（1）根据题意可得：PA⊥CD，又由于CD⊥AD，利用线面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，再利用线面垂直的定义可知CD⊥PD；
（2）取PD中点M，连接FM，AM，所以FM∥CD，FM=

1

2

CD，并且AE∥CD，AE=

1

2

CD，可得AEFM是平行四边形，所以EF∥AM，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（3）取CD中点G，连接FG，EG，可得EG⊥CD，所以FG⊥CD，所以可得∠FGE为二面角P-CD-A的平面角，进而利用解三角形的有关知识解决问题即可．

解答：证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PD．（4分）
（2）取PD中点M，连接FM，AM，
∵F为PC中点
∴FM∥CD，FM=

1

2

CD
∵E为AB中点，ABCD为矩形，
∴AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥FM，AE=FM，
∴AEFM是平行四边形，
∴EF∥AM，
∵AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，（8分）
解：（3）取CD中点G，连接FG，EG
∵E，G为矩形ABCD中AB，CD中点，
∴EG⊥CD．
∵F，G为PC，CD中点，
∴FG∥PD，FG=

1

2

PD，
∵PD⊥CD，
∴FG⊥CD．
∴∠FGE为二面角P-CD-A的平面角
∵∠PAD=90°，M为PD中点，
∴EF=AM=

1

2

AD，
∴EF=FG
又∵FG⊥CD，EG⊥CD，FG∩EG=G，
∴CD⊥平面EFG，
∵EF?平面EFG，
∴CD⊥EF，
∵FG?面PCD，CD?面PCD，FG∩CD=G，
∴当EF⊥FG即∠EFG=90°时，EF⊥面PCD，此时∠FGE=45°（12分）

点评：本题考查证明线面平行以及线线垂直的判定定理，并且也考查求二面角的平面角的有关知识，找出二面角的平面角是解题的难点和关键．