Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时

OA

⊥

OB

？

Answer 1

分析：（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到c=

3

，a=2，求出b后可得椭圆的标准方程；
（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．

解答：解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中c=

3

，a=2，所以b²=a²-c²=4-(

3

)2=1．
故轨迹C的方程为：

y2

4

+x2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 y2 4 +x2=1

⇒（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
由△=16k²+48＞0，可得：

x1+x2=- 2k k2+4 x1x2=- 3 k2+4

，
再由

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0?x1x2+y1y2=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
所以

-3(k2+1)

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，k2=

1

4

⇒k=±

1

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，此题属中档题．