题目内容
设有两个命题：
P：指数函数y=（c2-5c+7）x在R上单调递增；
Q：二次函数y=x2+2cx+c在R上无零点
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
P：指数函数y=（c2-5c+7）x在R上单调递增；
Q：二次函数y=x2+2cx+c在R上无零点
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
分析：分别求出命题P，Q为真命题的等价条件，然后利用P和Q有且仅有一个正确，可求c的取值范围．
解答：解：若指数函数y=（c2-5c+7）x在R上单调递增，
则c2-5c+7＞1，即c2-5c+6＞0，
解得c＜2或c＞3，即P：c＜2或c＞3…．（3分）
若二次函数y=x2+2cx+c在R上无零点，
则判别式△=4c2-4c＜0，即c2-c＜0
解得0＜c＜1，即Q：0＜c＜1…（6分）
于是?P：2≤c≤3，?Q：c≤0或c≥1…（8分）
若P正确且Q不正确，则c≤0或1≤c＜2或c＞3；…..（10分）
若P不正确且Q正确，则此时无解．
所以c 的取值范围是（-∞，0]∪[1，2）∪（3，+∞）…（12分）
则c2-5c+7＞1，即c2-5c+6＞0，
解得c＜2或c＞3，即P：c＜2或c＞3…．（3分）
若二次函数y=x2+2cx+c在R上无零点，
则判别式△=4c2-4c＜0，即c2-c＜0
解得0＜c＜1，即Q：0＜c＜1…（6分）
于是?P：2≤c≤3，?Q：c≤0或c≥1…（8分）
若P正确且Q不正确，则c≤0或1≤c＜2或c＞3；…..（10分）
若P不正确且Q正确，则此时无解．
所以c 的取值范围是（-∞，0]∪[1，2）∪（3，+∞）…（12分）
点评：本题主要考查命题真假的应用，利用函数的性质求出命题P，Q的等价条件．
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