Question

如图1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图2）．
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求证：AD′⊥BE；  
（3）求点C到平面AE D′的距离．

Answer 1

分析：（1）根据二面角的定义，作D′O⊥AE于O，连 OB，可得∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角，解直角△D′OB，即可求出直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）连接BE，则BE⊥AE于E，由线面垂直的性质，由（1）中结论D′O⊥平面ABCE，可得D′O⊥BE，结合线面垂直的判定定理，证得BE⊥平面AD′E后，易得AD′⊥BE；  
（3）由已知E是CD边的中点，可得C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半，由（2）结论可知BE长即为B到平面AE D′的距离，进而得到答案．

解答：解  （1）∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE．
作D′O⊥AE于O，连 OB，
∴D′O⊥平面ABCE．             
∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角．
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中点，
AO=OE=D′O=

2

2

a，∠D′AE=∠BAO=45°．…（2分）
∴在△OAB中，OB=

OA2+AB2-2•OA•ABcos45°

=

10

2

a．
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=

D′O

OB

=

5

5

．…（4分）
（2）连接BE
∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E．
∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，…（6分）
∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′．…（8分）
（3）C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半即

1

2

BE=

2

2

a…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，点到平面的距离计算，其中（1）的关键是确定∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角，（2）的关键是熟练掌握空间中线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（3）的关键是由已知得到C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半，