题目内容

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数．
分析：（1）采用赋值法，令x=y=0，即可求得f（0）；
（2）对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），可求得f（x）=f2(
x
2
)≥0，进一步可求得f（x）＞0，再利用单调性的定义即可证明f（x）为单调递增函数．
解答：解：（1）令x=y=0，f（0）=f2（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
又f（1）=2=f（1）f（0），故f（0）=1．
（2）由于f(x)=f2(
x
2
)≥0，假设存在t，使f（t）=0，则f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，与题设矛盾，所以f（x）＞0．
设x1＜x2，
f（x2）-f（x1）
=f（x2-x1+x1）-f（x1）
=f（x1）（f（x2-x1）-1）＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）为单调递增函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查赋值法的运用，考查反证法及函数单调性的定义的应用，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
设定义在R上的函数f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则x12+x22+x32=
 
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，则f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．
（2013•顺义区二模）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠
π
2
时，(x-
π
2
)f′(x)＜0．则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为
6
6
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），当x∈[-
π
2
，
π
2
]时，0＜f（x）＜1；当x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0时，x•f′（x）＜0，则y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的交点个数是（　　）
设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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