题目内容
设
=(cos(θ-
) ，sin(θ-
)) ，
=(2cos(θ+
)，2sin(θ+
))．
（1）若向量(2t
+7
)与向量(
+t
)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t
+
(m为常数，且m＞0）的模的最小值．
| a |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| b |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（1）若向量(2t
| b |
| a |
| b |
| a |
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t
| b |
| m |
| t |
| a |
分析：（1）由已知可求|
|，|
|，
•
，由夹角为锐角，代入(2t
+7
)•(
+t
)=2t|
2|+2t2
•
+7
•
+7t|
|2＞0，解不等式可求t的范围，舍去2t
+7
=λ(
+t
)中t即可
（2）由(2b
+
)2=4t2|
|2+4m
•
+
|
|2=16t2+
+4m，结合y=16t2+
+4m，t∈（0，1]的单调性可求y的最小值
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
（2）由(2b
| t |
| m |
| t |
| a |
| b |
| a |
| b |
| m2 |
| t2 |
| a |
| m2 |
| t2 |
| m2 |
| t2 |
解答：解：（1）由题设易得|
|=1，|
|=2，
•
=2cos[(θ-
)-(θ+
)]=2cos(-
π)=1
∴(2t
+7
)•(
+t
)=2t|
|2=2t|
|2+2t
•
+7
•
+7t|
| 2＞0
整理可得，2t2+15t+7＞0
∴t＞-
或 t＜-7
又当2t
+7
与b+t
共线时，不满足题意．
令2t
+7
=λ(
+t
)
则
∴t=±
∴t＞-
或 t＜-7，且t≠±
（6分）
（2）∵(2b
+
)2=4t2|
|2+4m
•
+
|
|2
=16t2+
+4m
令y=16t2+
+4m t∈（0，1]
∵y=16t2+
+4m≥8m+4m=12m
当且仅当t=
于是①当
∈(0，1] 即 0＜m≤4时
当且仅当t=
时，ymin=12m．从而|2t
+
|=2
②当
＞1 即m＞4时
可证 y=16t2+
+4m在（0，1]为减函数
从而当t=1时，ymin=m2+4m+16
∴|2t
+
| min=
（6分）
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
∴(2t
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
整理可得，2t2+15t+7＞0
∴t＞-
| 1 |
| 2 |
又当2t
| b |
| a |
| a |
令2t
| b |
| a |
| b |
| a |
则
|
| ||
| 2 |
∴t＞-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）∵(2b
| t |
| m |
| t |
| a |
| b |
| a |
| b |
| m2 |
| t2 |
| a |
=16t2+
| m2 |
| t2 |
令y=16t2+
| m2 |
| t2 |
∵y=16t2+
| m2 |
| t2 |
当且仅当t=
| ||
| 2 |
于是①当
| ||
| 2 |
当且仅当t=
| ||
| 2 |
| b |
| m |
| t |
| a |
| 3m |
②当
| ||
| 2 |
可证 y=16t2+
| m2 |
| t2 |
从而当t=1时，ymin=m2+4m+16
∴|2t
| b |
| m |
| t |
| a |
| m2+4m+16 |
点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的综合应用，注意：向量
，
的夹角θ为锐角时，并不等价于
•
＞0，一定要把向量同向的情况去掉，及函数的单调性在求解函数最值中的应用．
| a |
| b |
| a |
| b |
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设a=cos（
），b=sin（-380°），则（ ）
| 10π |
| 3 |
| A、a＞0，b＞0 |
| B、a＞0，b＜0 |
| C、a＜0，b＞0 |
| D、a＜0，b＜0 |