题目内容

设f （x）=x•3x；
（1）求函数y=f （x）-3（ln3+1）x的最小值．
（2）对于?a、b、c∈R，当a+b+c=3时，求证：3aa+3bb+3cc≥9．
分析：（1）已知f （x）=x•3x，对x进行讨论：x＞1；0≤x＜1；x＜0，三种情况进行讨论，讨论函数的单调性进行求解；
（2）由（1）可知f（x）的最小值，可得f（a）≥-3ln3，f（b）≥-3ln3，f（c）≥-3ln3，再根据?a、b、c∈R，a+b+c=3，根据不等式的性质进行证明；
解答：解：（1）当x＞1时，
3x＞3＞0
1+xln3＞1+ln3＞0

⇒3x（1+xln3）＞3（1+ln3），
∴y′＞0，y为增函数，
∴ymin=y（1）=f（1）-3ln3-3=-3ln3；
当0≤x＜1时，
0＜3x＜3
0＜1+xln3＜1+ln3
⇒3x（1+xln3）＜3（1+ln3），可得y′＜0，
当x＜0时，
3x＜1＜3
x3xln3＜0
⇒3x+x3xln3＜3，y′＜0
故函数y在（-∞，1]递减，在（1，+∞]递增，
∴y的最小值为ymin=y|x=1=-3ln3；
（2）由（1）可知
3aa-3(1+ln3)a≥-3ln3
3bb-3(1+ln3)b≥-3ln3
3cc-3(1+ln3)c≥-3ln3
，
∴3aa+3bb+3cc≥3（1+ln3）（a+b+c）-9ln3，
而a+b+c=3，
∴3aa+3bb+3cc≥9；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，解题的过程中利用了分类讨论的思想，是一道中档题；
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
（1）若f(x)=
x
2
-
1
x
，g(x)=lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(
1
m
，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-
1
2
x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．
（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
设f（x）=-x3+bx2+cx，其导函数y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(
23
 ， 0)．
（Ⅰ）求f（x）的极小值；
（Ⅱ）方程f（x）+p=0有唯一实数解，求p的取值范围；
（Ⅲ）若对x∈[-3，3]，都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围．
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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