Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点B（0，-2

2

），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；
（2）求BC边所在直线方程；
（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率kAB=-

2

，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为kCB=

2

2

．由两点间距离公式算出AB=2

3

，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出BC=2

6

且OC=4，由此可得点C的坐标；
（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y=

2

2

x-2

2

；
（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R=

1

2

|AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x-1）²+y²=9．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（0，-2

2

），
∴直线Ab的斜率为kAB=-

2

，
又∵AB⊥BC，∴kCB=

-1

kAB

=

2

2

（3分）
由两点间距离公式，得AB=

(-2-0)2+(0+2 2 )2

=2

3

，
∵△OAB∽△OBC，得

OA

OB

=

AB

BC

，∴

2

2 2

=

2 3

BC

，可得BC=2

6

，
∴Rt△OBC中，BC²=AC×OC，
即（2

6

）²=（0C+2）•0C，解之得OC=4（舍负），
由此可得点C坐标为（4，0）（7分）
（2）∵B（0，-2

2

），C（4，0）
∴直线BC的斜率k=

0-(-2 2 )

4-0

=

2

2

，
由点斜式方程得直线BC方程为y=

2

2

（x-4），
化简得y=

2

2

x-2

2

，即为所求BC边所在直线方程；
（3）由（1）得C（4，0），且A（-2，0）
∴AC中点坐标为（1，0），即圆心M（1，0）
又∵圆M的半径AM=

1

2

|AC|=3，
∴Rt△ABC外接圆M的方程为（x-1）²+y²=9．（16分）

点评：本题在坐标系中给出Rt△ABC，求点C的坐标、直线BC方程，并求△ABC外接圆M方程．着重考查了直线的斜率、直线的方程和圆的标准方程等知识，属于中档题．