Question

【题目】凸多面体的每个面均为三角形，每条棱上均标记字母之一，且每个面的三条边上恰各有一个。对每一个面，当旋转多面体使该面在我们眼前时，按照字母顺序观察其三边，若是逆时针方向，则称其为正面；否则，称其为反面。证明：正面与反面的数目之差能被4整除。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

考虑标记的棱，将其中点染红，于是，得到若干个红点.任取一条含红点的棱，有两个面以其为一条边（如图），取一个面（右），该面另两条边有一条标记.

考虑以棱为边的另一个面，该面又一条棱含红点，用虚线联结这两个红点，再取另一面（左），也会有另一个红点与点相连.于是，任一红点均连出两条线与别的红点相连.从而，形成若干个以红点为顶点的圈.

再考虑棱，也会得到若干以蓝点（蓝点为棱的中点）为顶点的圈.

由于红圈、篮圈的边均要穿过一条棱，将棱根据其被穿过的情形分为如图所示的三种类型：

其中，图（丙）的两个红点同上或同下，连线时让它们不相交；而图中（甲）、（乙）连线时相交，且其交点不是现有的红点或蓝点.

设三种类型的数目分别为.则正面数目为，反面数目为，且为红圈与篮圈的交点数.

因为圈与圈的交点数为偶数，所以，.

故正面数与反面数之差能被4整除.