题目内容

设命题p:关于x的方程4x2+4(a-2)x+1=0有实数根;命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域是R.若“p或q”为真,“p且q”为假,求a的取值范围.

解:若命题p:关于x的方程4x2+4(a-2)x+1=0有实数根为真命题,则△=[4(a-2)]2-4×4×1≥0,
即a≤1或a≥3,所以,是命题p为真命题的a的取值范围是{a|a≤1或a≥3};
使命题p为假命题的实数a的取值范围是{a|1<a<3};
若命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域是R为真,则,解得:a>
所以,使命题q为真命题的a的取值范围是{a|a>};
使命题q为假命题的实数a的取值范围是{a|};
由“p或q”为真,“p且q”为假,得:p真q假或p假q真,
若p真q假,则a的取值范围是{a|a≤1或a≥3}∩{a|}={a|};
若p假q真,则a的取值范围是{a|1<a<3}∩{a|a>}={a|1<a<3}.
综上,使“p或q”为真,“p且q”为假的a的取值范围是(-∞,]∪(1,3).
分析:根据命题p和q的真假,求出对应的实数a的取值范围,然后由“p或q”为真,“p且q”为假得到p真q假和p假q真两种情况,把两种情况求得的a的范围取并集.
点评:本题考查了复合命题的真假判断,考查了数学转化思想,解答此题的关键是把命题的真假转化为求集合的交集问题,是中档题.
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