题目内容
已知双曲线
(1)求直线L的斜率的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)见解析;(2)不存在.
【解析】(1) 本题涉及到用方程来判断直线与双曲线的位置关系,一定要注意再利用判别式进行判断时,二次项系数不为零.
(2)本题求出直线方程后,要注意验证二次方程的判别式是否大于零,如果不大于零,就不存在,否则存在.
解:(1)解方程组
消去得
当 , 时
当时
由 得
由 得
由 得或
综上知 :
时,直线与曲线有两个交点,
时,直线与曲线切于一点,时,直线与曲线交于一点.
或直线与曲线C没有公共点.
(2)不存在
假设以Q点为中点的弦存在
(1)当过Q点的直线的斜率不存在时,显然不满足题意.
(2)当过Q点的直线的斜率存在时,设斜率为K
联立方程两式相减得:
所以过点Q的直线的斜率为K=1
所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线
与双曲线没有公共点
即所求的直线不存在.
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