Question

若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值，则称x₀为函数y=f（x）的极值点。已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数。

Answer 1

解：（1）由 f（x）=x³+ax²+bx，得 f′（x）=3x²+2ax+b
∵1和-1是函数f（x）的两个极值点，
∴f′（1）=3-2a+b=0，f′（-1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=-3。
（2）由（1）得，f（x）=x³-3x，
∴g′（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）=0，
解得x₁=x₂=1，x₃=-2
∵当x＜-2时，g′（x）＜0；
当-2＜x＜1时，g′（x）＞0，
∴-2是g（x）的极值点
∵当-2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，
∴1不是g（x） 的极值点
∴g（x）的极值点是-2。
（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[-2，2]
当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，
注意到f（x）是奇函数，
∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2
当|d|＜2时，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d＞0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0，
∴-2，-1，1，2 都不是f（x）=d 的根
由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x-1）
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，
从而f（x）＞f（2）=2
此时f（x）=d在（2，+∞）无实根
②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数
又∵f（1）-d＜0，f（2）-d＞0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根
同理，在（-2，-I1）内有唯一实根
③当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数
又∵f（1）-d＞0，f（2）-d＜0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（-1，1 ）内有唯一实根
因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x₁，x₂，满足|x₁|=1，|x₂|=2；
当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x₃，x₄，x₅，满足|x_i|＜2，i=3，4，5
现考虑函数y=h（x）的零点：
（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t₁，t₂，满足|t₁|=1，|t₂|=2
而f（x）=t₁有三个不同的根，f（x）=t₂有两个不同的根，
故y=h（x）有5 个零点。
（ i i  ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t₃，t₄，t₅，满足|t_i|＜2，i=3，4，5
而f（x）=t_i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点
综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；
当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点。