Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a，b，c满足b²-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．

Answer 1

分析：（1）因为函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，则导数在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在区间（-1，3）上小于零，可知，-1和3对应的导数值为0，再由f′（0）=-18，可求得导函数，再利用导函数与原函数间的关系，表示出原函数，再由f（0）=-7求解．
（2）若函数f（x）是单调函数，则导函数对应的方程无根即可，所以下面就转化为导数是恒大于零还是恒小于零问题求解．

解答：解（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18．（3分）
又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．
从而

3a-2b-18=0 27a+6b-18=0.

解得

a=2 b=-6.

（5分）
又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x³-6x²-18x-7（7分）
（2）f′（x）=3ax²+2bx+c由条件b²-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）
因为f'（x）为二次三项式，
并且△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数；
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数．
因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性与导数正负间的关系，当导数大于零时，函数为增函数，当导数小于零时，函数为减函数．