题目内容
已知椭圆
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点F2
，斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，A为椭圆的右顶点，直线
、
分别交直线
于点
、
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
【答案】
(1)
；（2）
为定值
.
【解析】
试题分析：(1)由椭圆两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点可得
，从而得到椭圆方程.（2）通过题目条件，将直线
方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点
，点
，再分别表示出直线
、
的方程，令
，得到点
,
，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段
的中点为
的坐标，利用斜率公式即得到
，通过联立直线与椭圆方程，用韦达定理替换
，
，化简之后即可证明为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的，充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.
试题解析：(1)由条件知， 2分
故所求椭圆方程为. 4分
（2）设过点
的直线
方程为：
，设点，点，
将直线方程代入椭圆
：，
整理得：
， 6分
因为点
在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，
恒成立，且
8分
直线的方程为：
，直线的方程为：
，令，
得点
，
，所以点的坐标
. 9分
直线
的斜率为
.
. 11分
将
代入上式得：
.
所以为定值. 14分
考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式及直线方程.
练习册系列答案
相关题目
，求椭圆的方程.
的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．
的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．