题目内容

(2007•成都一模)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=0,当x∈(-1,0)时函数f(x)的导函数f'(x)<0恒成立.如果f(1-a)+f(1-a2)>0,则实数a的取值范围为
1<a<
2
1<a<
2
分析:先判断函数为奇函数,再由题意得f(x)在x∈(-1,1)上为单调递减函数,从而可建立不等式组,解之即可得到实数a的取值范围
解答:解:∵f(-x)=-f(x),x∈(-1,1),
∴f(x)为奇函数;
又x∈(-1,0)时,f'(x)<0,
∴f'(x)在(-1,0)上是单调递减函数.
由奇函数的性质,可知f(x)在x∈(-1,1)上为单调递减函数;
f(1-a)+f(1-a2)>0?f(1-a)>f(a2-1)?
-1<1-a<1
-1<1-a2<1.
1-a<a2-1

0<a<2
0<a<
2
或-
2
 <a<0
a>1或a<-2

解得1<a<
2

故答案为:1<a<
2
点评:本题以函数的性质为载体,考查函数性质的运用,考查解不等式,解题的关键是判断f(x)在x∈(-1,1)上为单调递减函数
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