Question

已知集合p=[

1

2

，2]，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，
（1）若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用分离参数法转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．

解答：解：（1）若P∩Q≠Φ，则在[

1

2

，2]内至少存在一个x使ax²-2x+2＞0成立，即a＞-

2

x2

+

2

x

∵-

2

x2

+

2

x

=-2（

1

x

-

1

2

）²+

1

2

∈[-4，

1

2

]，
∴a＞-4（5分）
（2）方程log₂（ax²-2x+2）=2在[

1

2

，2]内有解，则ax²-2x-2=0在[

1

2

，2]内有解，
即在[

1

2

，2]内有值使a=

2

x2

+

2

x

成立，
设u=

2

x2

+

2

x

=2（

1

x

+

1

2

）²-

1

2

，
当x∈[

1

2

，2]时，u∈[

3

2

，12]，
∴a∈[

3

2

，12]，
∴a的取值范围是

3

2

≤a≤12．（10分）

点评：考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是求最值，一是求值域．答题者应细心体会其不同．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．