Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

Answer 1

分析：（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（II）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．

解答：解：（I） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得

200a+b=0 20a+b=60

，解得

a=- 1 3 b= 200 3

故函数v（x）的表达式为v(x)=

60 0≤x＜20 1 3 (200-x) 20≤x≤200

（II）依题并由（I）可得f(x)=

60x 0≤x＜20 1 3 x(200-x) 20≤x≤200

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，f(x)=

1

3

x(200-x)≤

1

3

[

x+(200-x)

2

]2=

10000

3

当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值

10000

3

．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为

10000

3

≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（I） 函数v（x）的表达式v(x)=

60 0≤x≤20 1 3 (200-x) 20＜x≤200

（II） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．