Question

设f(x)=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0,f(0)f(1)＞0，求证

(1)方程f(x)=0有实根；

(2)-2＜＜-1；

(3)设x₁,x₂是方程f(x)=0的两个实根，则≤|x₁-x₂|＜.

Answer 1

证明：(1)若a=0，∴b=-c,f(0)f(1)=c(3a+3b+c)=-c²≤0,

    与已知矛盾，所以a≠0.

    方程3ax²+2bx+c=0的判别式

Δ=4(b²-3ac)，由条件a+b+c=0，消去b，得Δ=4(a²+c²-ac)=4［(a-c)²+c²］＞0.

    故方程f(x)=0有实根.

(2)由f(0)f(1)＞0，得c(3a+2b+c)＞0.

    由条件a+b+c=0,消去c，得(a+b)(2a+b)＜0.

∵a²＞0,∴(1+)(2+)＜0.故-2＜＜-1.

(3)由条件，知

x₁+x₂=-,x₁x₂==-,

∴(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂

=(+)²+.

∵-2＜＜-1,

∴≤(x₁-x₂)²＜.

    故≤|x₁-x₂|＜