题目内容

一个口袋中装有2个白球和n个红球（n≥2且n∈n^*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（Ⅰ）摸球一次，若中奖概率为 $数学公式$ ，求n的值；
（Ⅱ）若n=3，摸球三次，记中奖的次数为ξ，试写出ξ的分布列并求其期望．

解：（I）一次摸球从n+2个球中任选两个，有C_n+2²种选法，其中两球颜色相同有C_n²+C₂²种选法；
一次摸球中奖的概率P= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
由 $\text{[math]}$ 得n=2；
（II）由题意知若n=3，则每次摸球中奖的概率为p= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，且ξ～B（3， $\text{[math]}$ ）
所以ξ的期望为Eξ=n×p= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）求出一次摸球从n+2个球中任选两个方法，两球颜色相同有C_n²+C₂²种选法，即可求出摸球中奖的概率P，再由p= $\text{[math]}$ 即可求n的值；
（II）由题意知若n=3，求得每次摸球中奖的概率 $\text{[math]}$ ，根据ξ～B（3， $\text{[math]}$ ），Eξ=n×p，即可求出ξ的期望．
点评：本题考查组合及组合数公式，等可能事件的概率，离散型随机变量期望．求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1．③求出期望．