题目内容

袋中装有大小相等的3个白球，2个红球和n个黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）袋中黑球的个数n；
（2）ξ的概率分布列及数学期望Eξ．
（3）求在取得两个球中有一个是红球的条件下，求另一个是黑球的概率．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，…（3分）
∴n²-3n-4=0，解得n=-1（舍去）或n=4，
即袋中有4个黑球． …（4分）
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4．
∵ $\text{[math]}$ ，
P（ξ=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ …（7分）
∴ξ的概率分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ …（9分）
（3）记摸出的两个球中有一个红球为事件A，有一个黑球为事件B，则 $\text{[math]}$ 为两个球都不是红球．
所以两个球中有一个是红球的概率为 $\text{[math]}$ ，
两个球为一红一黑为事件A∩B，其概率 $\text{[math]}$ ，
所以在取得的两个球中有一个红球的条件下，另一个是黑球的概率为：
$\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知n²-3n-4=0，由此能求出袋中有黑球个数．
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4. $\text{[math]}$ ，P（ξ=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
（3）记摸出的两个球中有一个红球为事件A，有一个黑球为事件B，则 $\text{[math]}$ 为两个球都不是红球．所以两个球中有一个是红球的概率为 $\text{[math]}$ ，两个球为一红一黑的概率 $\text{[math]}$ ，由此能求出取得的两个球中有一个红球的条件下，另一个是黑球的概率．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，注意条件概率的性质和应用．