题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的反函数 f^-1（x）及其定义域；
（2）若 $数学公式$ 在区间 $数学公式$ 上是单调增函数，求实数a的取值范围．

解：（1）设y= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，y＞0，
$\text{[math]}$ ，
x，y互换，得 $\text{[math]}$ ．
∵y= $\text{[math]}$ ，
∴y＞0，
∴f^-1（x）= $\text{[math]}$ ，其定义域为{x|x＞0}．
（2） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵m=1-x²在区间 $\text{[math]}$ 上是单调减函数，∅（x）= $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是单调增函数，
∴n=x²-ax+1在区间 $\text{[math]}$ 上是单调增函数，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设y= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，y＞0，由此能求出f^-1（x）和其定义域．
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由m=1-x²在区间 $\text{[math]}$ 上是单调减函数，∅（x）= $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是单调增函数，知n=x²-ax+1在区间 $\text{[math]}$ 上是单调增函数，由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查反函数的求法和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的图象和y轴交于（0，1）且y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及x₀；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）如果将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x轴负方向平移

个单位，最后将y=f（x）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的

（横坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式并给出y=|g（x）|的对称轴方程．

已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ）在x=

时取得最大值4．
（1）求函数f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在[0，

]上的值域．

已知函数（1）求函数在区间[1，]上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方；

（3）设函数，求证：≥。（）

（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（2）在给出的直角坐标系中，用描点法画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

（本题满分12分）

已知函数

（1）求函数的极值点；

（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；

（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e为自然对数的底数）