题目内容

已知向量 $数学公式$ ，且 $数学公式$ （O为坐标原点）．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
∴（2x-2）（x+1）-（2- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ =0
化简可得，点M的轨迹C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0
∴y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ，y₁y₂=- $\text{[math]}$
假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为 $\text{[math]}$
∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1
∴2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ +4x₁x₂+6y₁y₂=6
∵A，B在椭圆上，∴2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ =6，2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ，=6
∴2x₁x₂+3y₁y₂=-3
∵y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ，y₁y₂=- $\text{[math]}$
∴m= $\text{[math]}$
当m= $\text{[math]}$ 时，y₁= $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ ，∴x₁=0，x₂= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴cos $\text{[math]}$
∴sin∠AOB= $\text{[math]}$
∴平行四边形OAPB的面积为 $\text{[math]}$
当m=- $\text{[math]}$ 时，同理可得平行四边形OAPB的面积为 $\text{[math]}$
故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
分析：（1）利用向量共线的条件，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0，利用韦达定理表示，假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为 $\text{[math]}$ ，从而可得P的坐标，代入椭圆方程，利用A，B在椭圆上，可求m的值，进而可求平行四边形OAPB的面积，即可得到结论．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，确定直线的方程是关键．