Question

已知 c＞0，设命题p：指数函数y=-（2c-1）^x在实数集R上为增函数，命题q：不等式x+（x-2c）²＞1在R上恒成立．若命题p或q是真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的性质求出命题p中c的范围，由二次函数的性质，求出命题q中c的范围，再由命题p或q是真命题，p且q是假命题，可知p和q有一个为真命题，分类讨论，从而求解；

解答：解：当p正确时，∵函数y=-（2c-1）^x在R上为增函数∴0＜2c-1＜1，
∴当p为正确时，

1

2

＜c＜1
当q正确时，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，
∴当x∈R时，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴当q为正确时，c＞

5

8

由题设，若p和q有且只有一个正确，则
（1）p正确q不正确，

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

------（9分）
（2）q正确p不正确，

0＜c≤ 1 2 或c≥1 c＞ 5 8

∴c≥1
∴综上所述，若p和q有且仅有一个正确，c的取值范围是(

1

2

--（14分）

点评：此题主要考查指数函数的图象及其性质以及二次函数的恒成立问题，利用了分类讨论的思想，分两种情况进行求解，计算的结果要求并；