Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，

π

3

)，半径r=1，P在圆C上运动．
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得出关于ρ，θ的关系式，即为所求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设Q（x，y）则P（2x，2y），根据P在圆上，即可Q的直角坐标方程．

解答：解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得12=ρ2+22-2•2ρcos(θ-

π

3

)
所以圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcos(θ-

π

3

)+3=0…（5分）
（Ⅱ）圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcos(θ-

π

3

)+3=0可化成直角坐标方程为：
(x-1)2+(y-

3

)2=

1

4

设Q（x，y）则P（2x，2y），P在圆上，
∴(2x-1)2+(2y-

3

)2=

1

4

，
则Q的直角坐标方程为(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

1

4

…（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距离等基本方法，属于基础题．