Question

（本小题满分12分）已知直三棱柱中，，，点在上．

 

 

（1）若是中点，求证：∥平面;

（2）当时，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：连结BC₁，交B₁C于E，DE．

∵ 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，

 ∴侧面B B₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，

∴ DE// AC₁．                  …………………………………2分

因为 ∵DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

 ∴AC₁∥平面B₁CD．      …………………………………4分

（2）   ∵ AC⊥BC，

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．     

 

       

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁ (0, 0, c)，B₁ (3, 0, 4)．

设D (a, b, 0)（，），          …………………5分

∵点D在线段AB上，且， 即．

∴．                     …………………7分

所以，，．                     

高三数学（理工类）参考答案第2页（共4页）

平面BCD的法向量为．  ……………………………………8分

设平面B₁ CD的法向量为，

由 ，， 得 ，

所以，．  ……………………………………10分                   

设二面角的大小为， ． ……………………11分

所以二面角的余弦值为．          ……………………12分

【解析】略