题目内容

已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积.

解:f′(x)=3ax2.∴f′(2)=12a,
切线的斜率 k=12a,∵切线方程为:y=4x-4,∴切点坐标为了(2,4)
∴12a=4,∴a=,且f(2)=ax3+b=4,∴b=

直线l:y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1,
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积为:

=
=+++-2×22-(+-2)=2.
分析:先利用导数求出该点的斜率,然后求出切点的坐标,得出函数的解析式,最后根据定积分即可求出直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积.
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,同时考查了定积分,属于中档题.
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