题目内容
函数f（x）的定义域为R，并满足条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0；
②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]y；
③f(
)＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数．
①对任意x∈R，有f（x）＞0；
②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]y；
③f(
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（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数．
分析：（1）可采用赋值法，令x=0，y=2代入可求得f（0）的值；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，可令x1=
P1，x2=
P2，故p1＜p2，再判断f（x1）-f（x2）的符号，从而可证其单调性；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，可令x1=
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解答：解：（1）令x=0，y=2，则f（0）=[f（0）]2
∵f（0）＞0，∴f（0）=1
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2
设x1=
P1，x2=
P2，则P1＜P2
∴f(x1)-f(x2)=f(
P1)-f(
P2)=[f(
)]P1-[f(
)]P2
∵f(
)＞1，P1＜P2，∴[f(
)]P1＜[f(
)]P2
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是单调递增函数．
∵f（0）＞0，∴f（0）=1
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2
设x1=
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∴f(x1)-f(x2)=f(
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∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是单调递增函数．
点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于用单调函数的定义证明其单调递增时“任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1=
P1，x2=
P2”这一步的灵活理解与应用，属于中档题．
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练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数
的定义域为（ ）
| f(x+2) |
| x |
| A、[-1，0）∪（0，2] |
| B、[-3，0） |
| C、[1，4] |
| D、（0，2] |