题目内容
6.已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c.(1)若函数f(x)在x=1及x=2时取到极值,求实数a和b的值;
(2)若函数f(x)在x=1时取到极小值,求实数a的取值范围.
分析 (1)依题意有,f′(1)=0,f′(2)=0.求解即可,(2)由f′(1)=0,求出b=-2a-2,结合函数f(x)在x=1时取到极小值,得到-a-1<1,从而求出a的范围.
解答 解:(1)f′(x)=6x2+6ax+3b,
因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f′(1)=0,f′(2)=0.
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$,解得:a=-3,b=4.
(2)f′(x)=6x2+6ax+3b,
∵函数f(x)在x=1时取到极小值,
∴f′(1)=6+6a+3b=0,
∴b=-2a-2,
∴f′(x)=6x2+6ax-6a-6=6(x-1)(x+a+1),
∴-a-1<1,解得:a>-2.
点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题.考查导数的应用,是一道中档题.
练习册系列答案
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