Question

设f（x）=log_ag（x）（a＞0且a≠1）
（1）若f(x)=log

1

2

(3x-1)，且满足f（x）＞1，求x的取值范围；
（2）若g（x）=ax²-x，是否存在a使得f（x）在区间[

1

2

，3]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．
（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=q
将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_i）-m（x_i-1）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）=log4(4x2-x)是否为在[

1

2

，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的单调性即可得出；
（2）对a分类讨论，利用二次函数和对数函数的单调性、复合函数的单调性即可得出；
（3）函数f（x）=log4(4x2-x)为[

1

2

，3]上的有界变差函数．
由（2）知当a=4时函数f（x）为[

1

2

，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：

1

2

=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=3，有f(

1

2

)=f(x0)＜f(x1)＜…＜f(xn-1)＜f(xn)=f(3)，即可得出

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(

1

2

)=log433-log4

1

2

=log466．

解答：解：（1）f(x)=log

1

2

(3x-1)＞1?log

1

2

(3x-1)＞log

1

2

1

2

?

3x-1＜ 1 2 3x-1＞0

．
解得

1

3

＜x＜

1

2

．
（2）当a＞1时，

1 2a ≤ 1 2 g( 1 2 )= 1 4 a- 1 2 ＞0

⇒a＞2．
当0＜a＜1时，

1 2a ≥3 g(3)=9a-3＞0

⇒

a≤ 1 6 a＞ 1 3

，无解．
综上所述，a＞2．
（3）函数f（x）=log4(4x2-x)为[

1

2

，3]上的有界变差函数．
由（2）知当a=4时函数f（x）为[

1

2

，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：

1

2

=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=3，有f(

1

2

)=f(x0)＜f(x1)＜…＜f(xn-1)＜f(xn)=f(3)，
所以

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(

1

2

)=log433-log4

1

2

=log466，
∴存在常数M≥log₄66，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
∴M的最小值为log₄66．

点评：本题考查了复合函数的单调性、二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论、新定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．