题目内容

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1且3a_n+1+2s_n=3（n为正整数）
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n+…．若对任意正整数n，kS≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

解：（1）由题设条件得
3a_n+1+2s_n=3，3a_n+2s_n-1=3
两式相减，得3a_n+1-3a_n+2（S_n-S_n-1）=0，
即 $\text{[math]}$ ，n＞1 又 $\text{[math]}$ ，
所以通项为： $\text{[math]}$ ．
（2）S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
要kS≤Sn恒成立，由于Sn递增
所以只要kS=S₁，即k的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）3a_n+1+2s_n=3，3a_n+2s_n-1=3，两式相减，得3a_n+1-3a_n+2（S_n-S_n-1）=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出k的最大值．
点评：本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式和数列的综合应用．

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