Question

已知⊙O₁：（x-3）²+（y+1）²=5，⊙O₂：（x+3）²+（y-1）²=25，
（1）求⊙O₁与⊙O₂的交点；
（2）若经过点P（0，-1）的直线l与这两个圆的公共弦总有公共点，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

(x-3)2+(y+1)2=5 (x+3)2+(y-1)2=25

，求得方程组的解为

x=1 y=-2

，或

x=2 y=1

，即可得到⊙O₁与⊙O₂的交点为A、B的坐标．
（2）由于直线PA的斜率为 K_PA=

-2+1

1-0

=-1，直线PB的斜率 K_PB=

1+1

2-0

=1，故PA的倾斜角为

3π

4

，PB的倾斜角为

π

4

．数形结合，可得直线l斜率的取值范围．

解答：解：（1）由

(x-3)2+(y+1)2=5 (x+3)2+(y-1)2=25

，可得 y=3x-5，
再代入第一个圆的方程可得x²-3x+2=0．
求得x=1，或x=2，可得方程组的解为

x=1 y=-2

，或

x=2 y=1

，
即⊙O₁与⊙O₂的交点为A（1，-2）、B（2，1）．
（2）由于点P（0，-1），可得直线PA的斜率为 K_PA=

-2+1

1-0

=-1，
直线PB的斜率 K_PB=

1+1

2-0

=1，
故PA的倾斜角为

3π

4

，PB的倾斜角为

π

4

．
再根据过点P（0，-1）的直线l与这两个圆的公共弦AB总有公共点，
故直线l的倾斜角的范围为[0，

π

4

]∪[

3π

4

 π），
可得直线l斜率的取值范围为[-1，1]．

点评：本题主要考查圆的标准方程、两个圆的位置关系的判定，直线和圆相交的性质，属于中档题．