Question

是否存在这样的平移，使抛物线y=-x²平移后过原点，且以平移后的抛物线的顶点和它与x轴的两个交点为顶点的三角形的面积为1？若不存在，请说明理由；若存在，求出平移后抛物线的解析式.

Answer 1

解：假设存在这样的平移向量a=(h,k).

将平移公式代入y=-x²得平移后的抛物线为

y-k=-(x-h)²，即y=-(x-h)²+k.

∵平移后抛物线过原点，

∴k=h².①

由

得(x-h)²=k.

∴当k＞0时，x=h±.

因此抛物线在x轴上截得的弦长为2.

又∵平移后抛物线的顶点为(h,k),

∴依题意·2·k=1(k＞0).

则k=1.②

将②代入①，得h=±1.

∴存在满足已知条件的平移向量a=(1,1)或a=(-1,1).

当a=(1,1)时，平移后抛物线的解析式为

y=-(x-1)²+1,即y=-x²+2x;

当a=(-1,1)时，平移后抛物线的解析式为

y=-(x+1)²+1,即y=-x²-2x.

点评:本题考查函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，函数的性质等知识.逐步掌握对探索性问题的一般解法.