Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求异面直线A₁B与AC所成的角；
（2）求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析：（1）连结BC₁、A₁C₁，由正方体的性质可得四边形AA₁C₁C为平行四边形，从而A₁C₁∥AC，∠BA₁C₁是异面直线A₁B与AC所成的角．由于△A₁B₁C是等边三角形，得∠BA₁C₁=60°，因此异面直线A₁B与AC所成的角等于60°；
（2）设BC₁交B₁C于点O，连结A₁O，利用正方体的性质和线面垂直的判定定理，证出BO⊥平面A₁B₁CD，可得∠BA₁O是直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角．设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a，在Rt△A₁BO中加以计算，即可得到直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角的大小．

解答：解：（1）连结BC₁、A₁C₁，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A

∥

.

C₁C，
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，可得A₁C₁∥AC，
因此∠BA₁C₁（或其补角）是异面直线A₁B与AC所成的角，
设正方体的棱长为a，则△A₁B₁C中A₁B=BC₁=C₁A₁=

2

a，
∴△A₁B₁C是等边三角形，可得∠BA₁C₁=60°，
即异面直线A₁B与AC所成的角等于60°；
（2）设BC₁交B₁C于点O，连结A₁O，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，∴CD⊥BC₁，
∵正方形BB₁C₁C中，对角线BC₁⊥B₁C，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，即BO⊥平面A₁B₁CD，可得∠BA₁O是直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a，
∵在Rt△A₁BO中，A₁B=

2

a，OB=

2 a

2

，∴sin∠BA₁O=

1

2

，可得∠BA₁O=30°
即直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角的大小等于30°．

点评：本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．