题目内容

已知椭圆
x2
m
+y2=1（m＞1）和双曲线
x2
n
-y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化
由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2
m
，
双曲线的实轴长为2
n
，
不妨令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2
m
，①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2
n
，②
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），
又∵椭圆
x2
m
+y2=1（m＞1）和双曲线
x2
n
-y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，
∴m-1=n+1，∴m-n=2，
∴|PF1|2+|PF2|2=2（m+n）=4m-2，
|F1F2|2=（2
m-1
）2=4m-2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，
则△F1PF2的形状是直角三角形
故选：B．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
m
-y2=1的一条渐近线和圆x2+y2-4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为______．
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的离心率e=2，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）满足（　　）
A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外
C．必在圆x2+y2=2上D．以上三种情形都有可能
设F为双曲线
x2
16
-
y2
9
=1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则
|FN|-|FM|
|FA|
的值为（　　）
A．
2
5
B．
5
2
C．
5
4
D．
4
5
我们把离心率为e=
5
+1
2
的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图，A1，A2是右图双曲线的实轴顶点，B1，B2是虚轴的顶点，F1，F2是左右焦点，M，N在双曲线上且过右焦点F2，并且MN⊥x轴，给出以下几个说法：
①双曲线x2-
2y2
5
+1
=1是黄金双曲线；
②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③如图，若∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④如图，若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是（　　）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
若焦点在x轴的双曲线的一条渐近线为y=
1
2
x，则它的离心率e=______．
双曲线
x2
10
-
y2
6
=1的焦点坐标是（　　）
A．（-2，0），（2，0）B．（0，-2），（0，2）C．（0，-4），（0，4）D．（-4，0），（4，0）
已知双曲线
x2
a2
-y2=1（a＞0）的一个焦点与抛物线x=
1
8
y2的焦点重合，则此双曲线的离心率为（　　）
A．
3
3
2
B．
3
C．
2
3
3
D．
4
3
3
已知双曲线x2-
y2
a
=1的一条渐近线与直线x-2y+3=0垂直，则a=______．

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