题目内容
19.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系,且该产品的成本是3.5元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本).
(参考公式与数据:$\sum_{i=1}^{6}$xiyi=4066,$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2,$\sum_{i=1}^{6}$xi=51.$\sum_{i=1}^{6}$yi=480.$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$.)
分析 (I)利用最小二乘法,结合已知中的数据,求出b,a的值,即可求得回归直线方程;
(II)设工厂获得的利润为L元,建立利润关于单价的函数,利用配方法可求工厂获得的利润最大.
解答 解:(I)∵$\sum_{i=1}^{6}$xiyi=4066,$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2,$\sum_{i=1}^{6}$xi=51.$\sum_{i=1}^{6}$yi=480.
∴$\overline{x}$=8.5,$\overline{y}$=80
∵b=$\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4066-6×8.5×80}{434.2-6×{8.5}^{2}}$=-20,
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=80+20×8.5,
∴a=80+20×8.5=250
∴回归直线方程$\hat{y}$=-20x+250;
(II)设工厂获得的利润为L元,
则L=(x-3.5)(-20x+250)=-20(x-8)2+405,
∴该产品的单价应定为8元,工厂获得的利润最大,最大值为405元.
点评 本题主要考查回归分析,考查二次函数,考查运算能力、应用意识,属于中档题.
练习册系列答案
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