Question

设数列{a_n}满足：Sn=

an2

4

+n，a_n＞0．
（1）求{a_n}的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项，2项，3项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₂₀₁₀的值；
（3）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，…，m（m≥3）项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

分析：（1）由：Sn=

an2

4

+n，可用a_n与S_n的关系求解；
（2）先由数列{a_n}将（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），转化为（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），按照每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号的规律抽象出b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，组成一个首项为b₃，公差为36的等差数列．
（3）由“提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例）”即研究：当n是m的整数倍时，求b_n．按照（2）的思路解决．

解答：解：（1）当n=1时，S1=

a12

4

+1，a12-4a1+4=0，解得a₁=2，
当n≥2时，a n=S n-Sn-1=(

an2

4

+n)-(

an-12

4

+n-1)，整理得（a_n+a_n-1-2）（a_n-a_n-1-2）=0，
所以a_n-a_n-1=2，或a_n+a_n-1=2（不合题意，舍去，否则a_2n=0与已知矛盾），
∴数列{a_n}是等差数列，且公差为2，首项a₁=2，从而a_n=2n．（5分）
（2）数列{a_n}依次按1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b₂₀₀₉是第670组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，组成一个首项为b₃=8+10+12=30，公差为d=36的等差数列．所以b₂₀₁₀=30+（670-1）×36=24114．（10分）
（3）当n是m的整数倍时，求b_n的值．
数列{a_n}依次按1项、2项、3项，，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），，（m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m）；（m²+m+2）（m²+m+4，m²+m+6），，（2m²+2，2m²+4，，2m²+2m），（2m²+2m+2），
第m组，第2m组，，第km（k∈N^*）组的第1个数，第2个数，，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m公差均为m（m+1）
则第m组、第2m组，，第km组，的各数之和也组成一个等差数列，其公差为m²（m+1）
第m组的m个数之和为

m[(m2-m+2)+(m2+m)]

2

=m3+m
∴当n=km时，b_n=b_km=m³+m+（k-1）m²（m+1）．（16分）

点评：本题考查通项和前n项和之间的关系，由数列构造新数列和转化数列的能力．