Question

如图所示，已知抛物线C1：x2=y，圆M：x²+（y-4）²=1，点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆M的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

Answer 1

分析：设出点P的坐标，利用过点P作圆M的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，设出点A，B的坐标，再设出过P的圆M的切线方程，利用交与抛物线C₁两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系，得到两切线的斜率的式子，由已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．

解答：解：设点P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由题意得：x₀≠0，x₂≠±1，x₁≠x₂，
设过点P的圆M的切线方程为：y-x₀²=k（x-x₀），
即y=kx-kx₀+x₀²①
则

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0，
设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂应该为上述方程的两个根，
∴k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁•k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

；
代入①得：x²-kx+kx₀-x₀²=0，则x₁，x₂应为此方程的两个根，
故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x0，kMP=

x02-4

x0

由于MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=-1，
∴[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x0]•

x02-4

x0

=-1
∴x0=±

23 5

∴P（±

23 5

，

23

5

），直线l的方程为：y=±

3 115

115

x+4．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．