题目内容
某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．
（Ⅰ）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；
（Ⅱ）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数 ）
（Ⅰ）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；
（Ⅱ）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数 ）
分析：（I）根据已知可得保养、维修、更换易损零件的费用成等差数列，根据首项公式，可得累计费用的表达式；
（II）由（I）得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值．
（II）由（I）得到平均费用的表达式，结合基本不等式可得年平均费用的最小值．
解答：解：（I）∵第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元
故每年的费用构造一个以2为首项，以1为公差的等差数列
∴前n年的总费用S=2+3+…+n+1=
，
（II）设使用n年的年平均费用为y，则
y=（72+2+2n+
）÷n
=
+
+
≥2
+
=
当
与
，即n=12时取等号．
故最佳使用年限是12年，这时年平均费用最小，为
千元/年
故每年的费用构造一个以2为首项，以1为公差的等差数列
∴前n年的总费用S=2+3+…+n+1=
| n(n+3) |
| 2 |
（II）设使用n年的年平均费用为y，则
y=（72+2+2n+
| n(n+3) |
| 2 |
=
| 72 |
| n |
| n |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 36 |
| 7 |
| 2 |
| 31 |
| 2 |
当
| 72 |
| n |
| n |
| 2 |
故最佳使用年限是12年，这时年平均费用最小，为
| 31 |
| 2 |
点评：本题考查的知识点是等差数列求和，基本不等式，分析是题意，提炼出数学模型是解答的关键．
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