Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角是，锐二面角的平面角是，试判断与的大小关系，并予以证明．

Answer 1

本小题满分12分）
（I）

证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁于A₁B，
得AD⊥平面A₁BC，        ………………（2分）
又BC平面A₁BC，∴AD⊥BC.
在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，
AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC. ………………（4分）
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，　
又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC；…………（6分）
（II）

方法1：连接CD，则由（I）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，
………………（8分）
是二面角A₁—BC—A的平面角，即，
………………（10分）
在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，
由ACAB，得又所以
………………（12分）
方法2：设AA₁=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在
的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，
∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）
( c，-b，0)，设平面A₁BC的一个，
由，得，取， ……………（9分）
∴，            
∵平面ABC的法向量为( 0，0，a)，∵二面角A₁—BC—A的平面角是锐角，
∴，
……………（10分）
∵，∴，，
∵，∴．                     ………………（12分）

解析