Question

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F、O分别为CE、CD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥面AFO；
（Ⅱ）求三棱锥C-ADE的体积．

Answer 1

分析：（I）根据已知中AB⊥平面ACD，DE∥AB，F、O分别为CE、CD的中点，AC=AD=CD=DE=2，我们易得到CD与面AFO中两条相交直线AO、FO均垂直，根据线面垂直的判定定理，即可得到答案．
（II）根据（1）的结论，我们易判断AO即为平面CDE上的高，由此计算出三角形CDE的面积，代入棱锥体积公式即可求解．

解答：解：（I）∵AB⊥平面ACDDE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD
∵F、O分别为CE、CD的中点．
∴FO∥ED
∴FO⊥CD
∵△ACD是等边三角形
∴AO⊥CD
∴CD⊥面AFO（6分）
（II）∵AO⊥CD，△ACD是等边三角形
∴AO⊥面CDE
∴AO是三棱锥A-CDE的高
∴VC-ADE=VA-CDE=

1

3

S△CDE•AO=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，掌握线面垂直的判定定理，找出棱锥的高和底面积，是解答本题的关键．