题目内容

已知函数f（x）=2lnx-ax²+1
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x）得最大值；
（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定义域上是单调函数，求实数a得取值范围；
（3）试比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ （n∈N，n≥2）得大小．

解：（1）当a=1时，f′（x）= $\text{[math]}$ -2x= $\text{[math]}$ （x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
且当x=1时f（x）取得最大值f（1）=0；
（2）g（x）=2lnx-ax²+1+x，g′（x）= $\text{[math]}$ -2ax+1= $\text{[math]}$ （x＞0），
若g（x）在定义域上单调递增，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax²+x+2≥0恒成立，
也即2a≤ $\text{[math]}$ 恒成立，而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，
所以2a≤0，即a≤0；
若g（x）在定义域上单调递减，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥ $\text{[math]}$ 恒成立，
因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，所以此时不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
综上，a的取值范围是a≤0；
（3） $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ （n∈N，n≥2），证明如下：
由（1）知2lnx-x²+1≤0，即2lnx≤x²-1（x=1时取等号），
则当x＞1时， $\text{[math]}$ ，
所以n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，
以上各式相加得， $\text{[math]}$ ＞1- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当a=1时，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得单调区间，由单调性可得函数最大值；
（2）求出导数g′（x），分情况讨论：若g（x）在定义域上单调递增，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；若g（x）在定义域上单调递减，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，然后分离出参数a后转化为函数最值解决；
（3）由（1）可得不等式a=1时f（x）≤f（1），可得当x＞1时， $\text{[math]}$ ，则n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，分别令n=2，3，…，n可得n-1个不等式，相加后化简即可得到结论；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，（3）的解决关键是利用（1）问结论构造恰当不等式．