Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ-a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：由已知：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1 （n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1 （n≥2，n∈N^*）且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=（n+1）•2ⁿ，它的前n项和为T_n
T_n=2•2¹+3•2²+4•2³++n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ（1）
2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹（2）
（1）-（2）：
-T_n=2•2¹+2²+2³+2⁴++2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=
=-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹（13分）
分析：（Ⅰ）把S_n+1+S_n-1=2S_n+1整理为：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1，即a_n+1-a_n=1 即可说明数列{a_n}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）因为数列{b_n}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可．
点评：本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．