Question

如图正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中点．
（1）求证：EG⊥平面ACF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AF中点H，连接GH，EH，由正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中点，得到EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，CE=EF=AC=，GH=，故EG⊥CF，再由EG²+GH²=EH²，知EG⊥GH，由此能够证明EG⊥平面ACF．
（2）连接FD，则多面体ABCDEF的体积：V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD，由V_F-CDE=，V_F-ABCD=，能求出多面体ABCDEF的体积．
解答：解：（1）取AF中点H，连接GH，EH，
∵正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，
FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中点，
∴EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，
∴CE=EF=AC==，GH==，
∴EG⊥CF，
∵FC===，
∴EG===，
∵EH=1，∴EG²+GH²=EH²，
∴EG⊥GH，
又∵CF∩GH=G，
∴EG⊥平面ACF．
（2）连接FD，则多面体ABCDEF的体积：
V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD
=+
=+
=
=．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查多面体体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意中位线、勾股定理、等积法等知识点的合理运用．