题目内容
8.已知函数f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{(x≥0)}\\{(x<0)}\end{array}$,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是[$\sqrt{2}$,+∞).分析 由当x<0时,f(x)=-x2,x≥0时,f(x)=x2,从而f(x)在R上是单调递增函数,且满足2f(x)=f($\sqrt{2}$x),再根据不等式f(x+t)≥2f(x)=f($\sqrt{2}$x)在[t,t+2]恒成立,可得x+t≥$\sqrt{2}$x在[t,t+2]恒成立,计算即可得出答案.
解答 解:当x<0时,f(x)=-x2递增
,当x≥0时,f(x)=x2递增,
函数f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{(x≥0)}\\{(x<0)}\end{array}$,在R上是单调递增函数,
且满足2f(x)=f($\sqrt{2}$x),
∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f($\sqrt{2}$x)在[t,t+2]恒成立,
∴x+t≥$\sqrt{2}$x在[t,t+2]恒成立,
即:t≥($\sqrt{2}$-1)x在 x∈[t,t+2]恒成立,
∴t≥($\sqrt{2}$-1)(t+2),
解得:t≥$\sqrt{2}$,
故答案为:$[\sqrt{2},+∞)$.
点评 本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性,难度适中,关键是掌握函数的单调性的运用.
练习册系列答案
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18.设f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k,(x≥0)}\\{{x}^{2}+({a}^{2}+4a)x+(3-a)^{2},(x<0)}\end{array}\right.$,其中a∈R.若对任意的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)成立,则k的取值范围为( )
A. | R | B. | [-4,0] | C. | [9,33] | D. | [-33,-9] |
20.李克强总理4月22日(世界读书日前一天)在厦门大学考察时,指出世界读书日虽然只有一天,但我们应该天天读书,这种好习惯会让我们终身受益.
某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生进行调查.右侧是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图.若将日均阅读时间
不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关?
(Ⅱ)将频率视为概率,现从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取5次,记被抽取的5人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的数学期望EX和方差DX.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.
某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生进行调查.右侧是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图.若将日均阅读时间
不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关?
非读书迷 | 读书迷 | 总计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
总计 |
P(K2≥k1) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k1 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.
17.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时f(x)>1,
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
(2)若f(2)=3,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
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18.过点P(4,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A. | 3x-y-4=0 | B. | 4x+y-4=0 | C. | 4x-y-4=0 | D. | 3x+y-4=0 |